Ταξινόμηση Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

Γραμμικές εξισώσεις περιγράφουν ευθείες γραμμές ή επίπεδες πολυδιάστατες επιφάνειες . Συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι σύνολα γραμμικών εξισώσεων . Βρίσκονται σε πολλούς ακαδημαϊκούς και τεχνικούς κλάδους . Γραμμικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται σε στατιστικά στοιχεία , μηχανική , τη φυσική , τη χρηματοδότηση και την οικονομία . Ένα συγκεκριμένο σύστημα γραμμικών εξισώσεων μπορεί να εμπίπτουν σε μία από τις τρεις κατηγορίες . Για τους σκοπούς του παρόντος άρθρου , τα ακόλουθα δύο διαστάσεων σύστημα θα χρησιμοποιηθεί ως παράδειγμα :



4x + 5y = 1

4x - 2y = 2 γραμμικών εξισώσεων ονοματολογία
Η

η κατάταξη ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων είναι ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών του πίνακα συντελεστών του εν λόγω συστήματος . Η μήτρα συντελεστών είναι ένα πλέγμα των αριθμών που προηγούνται των μεταβλητών του συστήματος . Στο παράδειγμά μας , η μήτρα συντελεστές θα είναι :

4 5

4 -2

Για μια γραμμή ( ή στήλη ) να είναι γραμμικά ανεξάρτητες από άλλη γραμμή ( ή στήλη ) , θα πρέπει να είναι η υπόθεση ότι μια γραμμή ( ή στήλη ) δεν μπορεί να παράγεται από ένα γραμμικό συνδυασμό μιας άλλης σειράς ( ή στήλης ) . Δεν πρέπει να είναι σε θέση να πολλαπλών όλα τα στοιχεία της σειράς 1 με ένα μοναδικό αριθμό για να πάρει σειρά 2 Μπορείτε να δείτε ότι όλες οι στήλες στο παράδειγμα μας, συντελεστές της μήτρας είναι γραμμικά ανεξάρτητες , διότι δεν υπάρχει ενιαίο αριθμό που θα μας επιτρέψει να πολλαπλασιαστούν 4 για να πάρει 5 και -2 . Μπορείτε επίσης να δείτε ότι οι γραμμές στο παράδειγμα μήτρα μας είναι γραμμικά ανεξάρτητες . Δεν υπάρχει κανένα ενιαίο αριθμό ότι όταν πολλαπλασιάζεται με 4 παράγει 4 , και όταν πολλαπλασιάζεται με 5 παράγει -2 . Αυτό σημαίνει ότι η τάξη του παραδείγματος μας σύστημα είναι 2.

Η επαυξημένη μήτρα είναι ένας συνδυασμός της μήτρας συντελεστών και το διάλυμα φορέα . Στο παράδειγμά μας, ο επαυξημένος πίνακας θα είναι :

4 5 1

4 -2 2

Επειδή η μήτρα έχει δύο σειρές , την υψηλότερη τιμή το αξίωμα του επαυξημένου πίνακα μπορεί ενδεχομένως να είναι 2 εκ τούτου , γι 'αυτό το παράδειγμα , η κατάταξη του επαυξημένου πίνακα είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα των συντελεστών .
εικόνων επέκταση του Συστήματος
Η

στο παράδειγμά μας, το σύστημα των εξισώσεων, υπάρχουν μόνο δύο μεταβλητές . Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις γραμμές στο δισδιάστατο χώρο . Εάν επρόκειτο να προσθέσετε ένα άλλο σύνολο των μεταβλητών οι εξισώσεις θα περιγράψει τα αεροπλάνα στον τρισδιάστατο χώρο . Αυτό μπορεί να επεκταθεί σε πολλαπλές διαστάσεις . Αντί να σκεφτόμαστε με όρους των συστημάτων με οποιοδήποτε συγκεκριμένο αριθμό των μεταβλητών , μπορούμε να σκεφτούμε με όρους ενός γενικού συστήματος με n μεταβλητές . Αυτό μας δίνει τη δυνατότητα να ταξινομήσει τις γενικές ιδιότητες όλων των συστημάτων των εξισώσεων , ανεξάρτητα από τον αριθμό των μεταβλητών του συστήματος . Εικόνων
Δεν Λύση
Η

Αν η τάξη του η μήτρα συντελεστών δεν είναι ίση με την τάξη του επαυξημένου πίνακα , δεν υπάρχει λύση . Δεν υπάρχει κανένα μοναδικό σύνολο των αξιών που πληροί τις απαιτήσεις που περιγράφονται στο σύστημα των εξισώσεων . Το σύστημα των εξισώσεων δεν μπορούν να επιλυθούν . Εάν το σύστημα δεν μπορεί να λυθεί , το σύστημα λέγεται ότι είναι ασυνεπής .
Εικόνων Μια μοναδική λύση
Η

Υπάρχει ένα ενιαίο , μοναδικό σύνολο των λύσεων για το σύστημα των εξισώσεων εάν η τάξη της μήτρας συντελεστών είναι ίση με την τάξη του επαυξημένου μήτρας και είναι και οι δύο ίσες με τον αριθμό των στηλών της μήτρας συντελεστών. Υπάρχει ένα ενιαίο σύνολο αξιών που πληροί τις απαιτήσεις που περιγράφονται από το σύστημα των εξισώσεων . Αν υπάρχει μια μοναδική λύση , το σύστημα λέγεται ότι είναι ανεξάρτητη .
Εικόνων ένας άπειρος αριθμός των λύσεις
Η

Το σύστημα των εξισώσεων έχει άπειρες λύσεις , αν τα κατάταξη του πίνακα συντελεστών είναι ίσο με το βαθμό του επαυξημένου πίνακα και απέχουν λιγότερο από τον αριθμό των γραμμών του πίνακα συντελεστών . Thiere είναι ένα απείρως μεγάλο σύνολο των αξιών που πληρούν τις απαιτήσεις που περιγράφονται από το σύστημα των εξισώσεων . Αν υπάρχει ένας άπειρος αριθμός των λύσεων , το σύστημα λέγεται ότι είναι εξαρτώμενη .
Εικόνων