Τι είναι η Απόκλιση ενός Κλιμακωτή Vector

Vector λογισμός κατέχει σημαντική θέση στον τομέα της μηχανικής και της φυσικής , λόγω των τριών συγκεκριμένων φορέων : κλίση , απόκλιση και στροβιλισμός . Τα μέτρα χειριστής απόκλιση πηγή ένα διάνυσμα τομέα ή νεροχύτη μέγεθος σε ένα δεδομένο σημείο . Αν και διανυσματικά πεδία δεσμεύουν αριθμητικές τιμές με δείκτες κατεύθυνσης , οι αποκλίσεις είναι αποτέλεσμα βαθμωτό . Είναι μια ποσοτική μέτρηση για την προς τα έξω κατευθυνόμενη ροή σε ένα διανυσματικό πεδίο που προέρχεται από μια πηγή . Υπολογισμοί Απόκλιση μπορεί να αποδειχθεί εννοιολογικά δύσκολο , αλλά δεν είναι αδύνατο να δαμάσει . Κατανοώντας το Math
Η

Για να κατανοήσουμε τη μαθηματική έκφραση απόκλισης του , πρώτα να εξετάσει μια διαφορίσιμη συνάρτηση διάνυσμα v ( x , y , z ) όπου x , y και z είναι καρτεσιανές συντεταγμένες . Περαιτέρω , ας v1 , v2 και v3 είναι τα συστατικά του v . Η απόκλιση ενός διανυσματικού πεδίου είναι το γινόμενο μεταξύ του φορέα εκμετάλλευσης απόκλισης και τη λειτουργία πεδίου φορέα . Ο τύπος για την απόκλιση του διανυσματικού πεδίου v μπορεί επομένως να οριστεί ως :

div v = ( &τμήμα ? V1 /και μέρος ? X ) + ( &τμήμα ? V2 /και μέρος ? Y ) + ( &τμήμα ? V3 /και μέρος ? z )

Απόκλιση μπορεί να θεωρηθεί ως η μερική παράγωγο του κάθε τμήματος σε σχέση με καρτεσιανό συντονίζει αεροπλάνο του . Προϊόντα Dot δώσει βαθμωτό λύσεις . Κατά συνέπεια, η απόκλιση χειριστής δίνει μια βαθμωτή λύση από ένα διανυσματικό πεδίο , γεγονός που υποδηλώνει div v να είναι μια directionless ένδειξη μεγέθους .
Εικόνων Ένα Major Κοιμήσεως
Η

Η βασική ιδέα στηρίζεται απόκλιση καθιστά ένα μεγάλο παραδοχή , ότι σε μια λειτουργία που χαρακτηρίζει μια φυσική ή γεωμετρική ιδιότητα , οι τιμές είναι ανεξάρτητες από την συγκεκριμένη επιλογή των συντεταγμένων . Στην πραγματικότητα , αυτή είναι η περίπτωση . Η προς τα έξω ροή υποτίθεται ότι πρέπει να κινείται μακριά από την πηγή με σχετική ομοιομορφία . Απόκλιση μπορεί να γίνει κατανοητή ως μια ποιοτική ρυθμό για αυτής της ροής ή ροής . Εικόνων
Invariance της Απόκλιση
Η

Οι τιμές για div κατά εξαρτώνται από τα σημεία στο χώρο και η σχετική μαθηματική συνάρτηση . Τιμές είναι αμετάβλητες σε σχέση με μετασχηματισμού συντεταγμένων . Επιλέγοντας μια διαφορετική επιλογή για το καρτεσιανές συντεταγμένες χ * , γ * και ζ * και τα αντίστοιχα συστατικά v1 * , V2 και V3 * * για συνάρτηση v θα έχει ως αποτέλεσμα την ίδια εξίσωση . Αυτό το αναλλοίωτο του απόκλιση, παραμένει ένα βασικό θεώρημα που σχετίζονται με αυτό το συγκεκριμένο χειριστή

Σε σχέση με οποιεσδήποτε άλλες συντεταγμένες στο χώρο του φορέα και αντίστοιχα στοιχεία της λειτουργίας τους , ο υπολογισμός απόκλιση παραμένει η ίδια .: Η διαφορά είναι το γινόμενο μεταξύ του φορέα εκμετάλλευσης και του διανυσματικού πεδίου , ή την μερική παράγωγο του κάθε τμήματος σε σχέση με καρτεσιανό συντονίζει αεροπλάνο του .
εικόνων Λήψης στο επόμενο επίπεδο
Η

Απόκλιση παίζει ένα σημαντικό ρόλο στον τομέα των προηγμένων λογισμός . Η λειτουργία κρύβεται ένα από τα " μεγάλα " αναπόσπαστο θεωρήματα , τα οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να μετατρέψει εξαιρετικά πολύπλοκων υπολογισμών σε πιο λογικές προβλήματα . Αυτή η διαδικασία είναι γνωστή ως η Απόκλιση Θεώρημα του Gauss .

Φανταστείτε μια κλειστή περιοχή που οριοθετείται στο διάστημα , που ονομάζεται T , με μια τμηματικά λεία επιφάνεια S για το όριο του . Ας υποθέσουμε ότι η είναι η εξωτερική μονάδα κανονικό διάνυσμα της επιφάνειας S. Αφήστε την διανυσματική συνάρτηση F ( x, y, z) και οι δύο να είναι συνεχές και να έχει συνεχή πρώτη μερική παράγωγα σε κάποια περιοχή που περιέχει Τ Η Απόκλιση θεώρημα του Gauss αναφέρει το τριπλό ολοκλήρωμα η απόκλιση του F πάνω από έναν όγκο μπορεί να εξομοιωθεί με το διπλό ολοκλήρωμα της γινόμενο μεταξύ F και n σε μια περιοχή . Έτσι , πολύπλοκα ολοκληρώματα όγκου μπορεί να μετατραπεί σε πιο διαχειρίσιμα ολοκληρώματα επιφάνειας μέσα από την κατανόηση και την προβολή της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου .
Εικόνων