Πώς να αντλούν το Integral Όγκος ενός hypersphere

Μόνο ένας κύκλος είναι το σύνολο όλων των σημείων σε ένα δισδιάστατο επίπεδο σε ίση απόσταση από ένα κεντρικό σημείο και η σφαίρα είναι το σύνολο όλων των σημείων σε τρεις διαστάσεις σε ίση απόσταση από ένα κεντρικό σημείο , στα μαθηματικά υπάρχουν ανάλογες δομές , που ονομάζεται hyperspheres , σε χώρους διαστάσεων μεγαλύτερη από τρία που είναι το σύνολο όλων των σημείων σε ίση απόσταση από ένα κεντρικό σημείο . Κατά συνέπεια , όπως ακριβώς και η ακέραιου όγκο μιας σφαίρας σε τρεις διαστάσεις μπορούν να παραχθούν με λογισμό , έτσι μπορεί να τα αναπόσπαστο όγκοι αυτών των υψηλότερων τρισδιάστατα σχήματα . Οδηγίες
Η 1

Ορίστε το σύστημα συντεταγμένων που θα χρησιμοποιηθεί στο πρόβλημα . Αν οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων μπορεί να λειτουργήσει , μια παραλλαγή σφαιρικές πολικές συντεταγμένες λειτουργεί καλύτερα . Ως ένα παράδειγμα, σε ένα χώρο η-διαστάσεων , ορίζουν το r καθώς η απόσταση προς το κεντρικό σημείο , θήτα ως η γωνία αζιμουθίου και phi1 , phi2 , ... φ ( κ- 2 ) ως γωνιακή συντεταγμένες που κυμαίνονται από 0 έως ακτίνια πίν. 2

Γράψτε το βασικό όγκο ολοκλήρωμα για το σύνολο της hypersphere . Αυτό θα είναι το ολοκλήρωμα από 0 σε κάποια ακτίνα R για το R, και πάνω από το σύνολο των πιθανών γωνιών για κάθε γωνιακή συντεταγμένη, 0 έως 2π για θήτα και 0 έως pi για τις υπόλοιπες μεταβλητές . Τα πολλαπλά ολοκληρώματα που λαμβάνονται από 1 σε όλο το στοιχείο όγκου .
Εικόνων 3

Αντικαταστήστε το στοιχείο όγκου με τους αντίστοιχους όρους που υπολογίζονται από την Jacobian καθοριστικός . Για παράδειγμα , για ένα hypersphere σε τέσσερις διαστάσεις , θα είναι : .

R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta

Για περισσότερη βοήθεια τον υπολογισμό του Jacobian , δείτε την κατάλληλη σύνδεση των πόρων .
Η 4

Καταγράψτε την τελική απάντηση μετά τη λήψη κάθε αναπόσπαστο διαδοχικά . Στο παράδειγμά μας των τεσσάρων διαστάσεων hypersphere η τελική απάντηση είναι : .

( Pi ^ 2/2 ) * ακτίνα ^ , 4 φωτογραφίες
Η